மனித வாழ்வில் எக்காலத்திலும் அழகான ஒன்று “வானம்”. மிகச்சிறு வயதில் வானத்தை பார்த்து தினந்தோறும் வியந்திருக்கிறேன். அந்த பிரம்மாண்ட நீலப் போர்வையை பார்க்கும் போது மனம் விரிவடைவதை உணர்ந்திருக்கிறேன்.  வளர வளர அந்த ஆச்சர்ய உணர்வு மழுங்கி விட்டது. உண்மையில் அந்த சிறு வயதில் வானத்தைப் பற்றி எத்தனையோ கேள்விகள் என் மனதில் எழுந்திருக்கின்றன. ஆனால் பள்ளியில் மேல் வகுப்பு போக போக என் எல்லா கேள்விகளும் தொலைந்தே போய்விட்டன. பள்ளிகளில் விடைகள் மட்டுமே இருக்கின்றன. அந்த விடைகளுக்கான கேள்விகளைத்தான் நாம் கேட்க வேண்டும். நம் கேள்விகளுக்கான விடைகளை அங்கே கேட்க அனுமதியுமில்லை. அதற்கான சூழலும் இருந்ததில்லை. அந்தக் கேள்விகளையெல்லாம் இப்போது மறுபடியும் தேடிக் கொண்டிருக்கிறேன்.

அப்போது அடிக்கடி ஒரு கேள்வி எழும். இந்த வானம் நாலாபுறமும் வெகு தூரத்தில் பூமியை குடை போல தொட்டுக்கொண்டிருக்கிறதே உண்மையில் எவ்வளவு தூரத்தில்தான்  இது  பூமியைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்கிறது?. தமிழில் இதைத் “தொடுவானம்” என்று அழைப்பார்கள். சில நேரங்களில் இதை “அத்து வானம்” என்றும் அழைப்பார்கள். “அத்து” என்றால் எல்லை முடியும் இடம். நம் கண்களுக்கு வானம் முடிவதைப் போலத் தோன்றுவதால் அப்படி அழைப்பார்கள்.

அதிகாலையும் அடிவானமும் அற்புதமானது. அதுவும் நீங்கள் கடற்கரையில் இருந்தால் அதை விட ஜென் நிலை வேறோன்றுமில்லை. சூரியன் கடலிலிருந்து உதயமாகும் காட்சி இந்த உலகத்தின் முக்கியமான, அழகான நிகழ்வுகளுள் ஒன்று. எங்கள் ஊரில் கடல் இல்லையென்றாலும் வெகு தூரத்தில் அடிவானத்தில் மரங்களுக்கிடையில் உதித்து மேலே வருவது தெரியும். உண்மையில் இந்த சூரியன் கிழக்கு வானில் எவ்வளவு தூரத்தில்தான் உதித்து எழுகிறது? மேற்கு வானில் எவ்வளவு தூரத்தில்தான் மறைகிறது? என்று அடிக்கடி நினைப்பதுண்டு. நம் கண்களை பொறுத்தவரை  தொடுவானத்தின் தூரமும், சூரியன் உதிக்கும் தூரமும் ஒன்றுதான். சிறுவனாக இருந்த போது ஒரு தடவை எங்கள் வீட்டருகில் இருக்கும் அதிகம் படித்த(?) தாத்தா ஒருவரிடம் கேட்டேன். “தாத்தா! இந்த வானம் எங்கு தான் முடிகிறது? அவர் சொன்ன பதில் “இந்த வானம் லண்டனில் முடிகிறது”. நானும் அப்போது நம்பி விட்டேன். அது மட்டுமில்லாமல் லண்டன்தான் உலகத்தின் கடைசி என்றும் அப்போது நினைத்துக் கொண்டேன். உலகம் உருண்டை என்று அப்போது எனக்குத் தெரியாது. பின்னாளில் தான் தெரிந்தது “வானம் எங்கு முடிகிறது?” என்ற கேள்விக்கும் உலகம் உருண்டை என்பதற்கும் சம்பந்தம் இருக்கிறது என்று.

பிறகு பள்ளியில் படிக்கும் போதும் “தொடுவானத்தின் தூரம் என்ன?” என்பது ஒரு அழகியல் சார்ந்த கேள்வியாக இருந்ததே ஒழிய அது அறிவியல் கேள்வியாக(scientific question) மாறவில்லை என்பது இப்போது புரிகிறது. பள்ளியில் படிக்கும் பாடங்களுக்கும் இந்த மாதிரி கேள்விகளுக்கும் சம்பந்தம் இருக்கும் என்று அப்போது தோன்றவே இல்லை. நம் கல்வி முறை தோற்கும் இடம் இதுதான். நம் மனதில் இயல்பாக எழும் இது போன்ற கேள்விகளும் பள்ளியில் படிக்கும் பாடங்களும் ஒன்றோடு ஒன்று கலத்தல்தான் உண்மையான கற்றலின் அடையாளம். ஆனால் தாமரை இலைத் தண்ணீர் போல நாம் படிக்கும் பாடங்களும் நம் மனதின் கேள்விகளும் ஒன்றை ஒன்று ஒட்டாமல் இருப்பதுதான் இன்றைய கல்விச் சூழலின் எதார்த்தம்.

சரி நம் கேள்விக்கு வருவோம். உண்மையில் தொடுவானத்தின் தூரத்தை எப்படி அளவிடுவது? .  இந்த தூரத்தை அளவிடுவதற்கு முன் நாம் ஒன்றைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். முதலில் வானம் என்றால் என்ன? உண்மையில் வானம் என்ற போர்வை ஒன்று நம் பூமிக்கு மேலே இருக்கிறதா? உண்மையில் இந்த அழகான வானம் ஒரு மாயை. சூரிய ஒளியும், பூமிக்கு மேலே உள்ள வளிமண்டலத்தில் உள்ள ஆக்சிஜன், நைட்ரஜன் போன்ற வாயு மூலக்கூறுகளும் சேர்ந்து விளையாடும் விளையாட்டுதான் இந்த வானம். இந்த வாயுக்களின் மூலக் கூறுகள்(gas molecules) சூரியனிடமிருந்து பூமியை நோக்கி வரும் ஒளிக்கதிர்களை நாலா புறமும் சிதறடிக்கிறது. ஆனால் இந்த வாயு மூலக்கூறுகள் எல்லா நிற ஒளிக்கதிர்களையும் சமமான அளவில் சிதறடிப்பதில்லை. சூரியனிடமிருந்து வரும் ஒளிக்கதிர்கள் என்பது நம் கண்களால் பார்க்கக் கூடிய ஏழு விதமான நிறங்களையும் (ஊதா, கருநீலம், நீலம், பச்சை, மஞ்சள், ஆரஞ்சு, சிவப்பு), புற ஊதாக் கதிர்களையும் (Ultra violet rays), அகச்சிவப்பு கதிர்களையும் (infrared )உள்ளடக்கியதுதான்.  இதில் புற ஊதாக்கதிர்களையும், அகச்சிவப்பு கதிர்களையும் நம் கண்களால் காண முடியாது. நம் கண்களால் காண முடிந்த இந்த ஒவ்வொரு நிற ஒளிக்கதிர்களுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அலை நீளம்(wave length) உண்டு. குறைவான அலை நீளம் உடைய ஒளிக்கதிர்கள் வாயு மூலக்கூறுகளால் அதிக அளவில் சிதறடிக்கப் படுகிறது. அதிக அலைநீளம் உடைய ஒளிக்கதிர்கள் குறைவாக சிதறல் அடைகிறது. (இதை முதலில் கண்டறிந்தவர் ராலே (Rayleigh) என்ற இயற்பியல் அறிஞர்). இதன்படி பார்த்தால் ஊதா நிற ஒளிக்கதிர்கள்தான் குறைவான அலைநீளம் உடையது. சிவப்பு நிற ஒளிக்கதிர்கள் மிக அதிக அலை நீளம் உடையது. அப்படி என்றால் ஊதா நிற ஒளிக்கதிர்கள் மிக அதிக ஒளிச் சிதறல் அடைந்து வானம் நீல நிறமாக இல்லாமல் ஊதா நிறமாக அல்லவா நம் கண்களுக்கு தெரிய வேண்டும்? நீல நிற ஒளிக்கதிர்கள் ஊதா ஒளிக்கதிர்களை விட குறைவாகத் தான் சிதறல் அடைகிறது. பிறகு ஏன் வானம் நீல நிறமாக இருக்கிறது? அதற்கு காரணம் நம் கண்களின் நிறங்களை உணரும் திறன் நீல நிறத்திற்குத் தான் மிக அதிகம். அதனால்தான் நம் கண்களுக்கு வானம் நீல நிறமாகத் தெரிகிறது.

சரி அடுத்த கேள்வி. ஏன் வானம் பூமியைத் தொட்டுக் கொண்டிருப்பது மாதிரி தெரிகிறது? பூமி கோள வடிவத்தில் இருப்பதால்தான். கீழே உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

நீங்கள் பூமியின் மீது நின்று கொண்டிருக்கிறீர்கள். உங்கள் கண்களிலிருந்து நேராக ஒரு கோடு போட்டுக் கொண்டே சென்றால் அந்தக் கோடு பூமியின் மேற்பரப்பை எந்த இடத்தில் தொட்டுச் செல்கிறதோ அதுதான் பூமியை வானம் தொடும் இடம். நம் கண்களைப் பொறுத்தவரை அதுதான் தொடுவானம்.

ஏன் நேர் கோடு போட வேண்டும்?. ஏனென்றால் ஒளிக் கதிர்கள் நேர் கோட்டில் பயணிக்கிறது. சூரியனிலிருந்து வரும் ஒளிக்கதிர்கள் வளிமண்டலத்தால் நாலாபுறமும் சிதறடிக்கப் படுகிறது. ஆனால் இப்படி சிதறடிக்கப் படும் எல்லா ஒளிக்கதிர்களும் நம் கண்களை வந்தடைவதில்லை. கீழே உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

வளிமண்டலத்தால் சிதறடிக்கப்பட்டு நம் கண்களை வந்தடையும் ஒளிக்கதிர்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள புள்ளி “1” க்கும் “2” க்கும் இடைப்பட்ட வளிமண்டலப் பகுதியிலிருந்து வரும் ஒளிக்கதிர்கள் நம் கண்களை வந்தடையாது. மேலே காட்டப்பட்ட படம் புரிதலுக்காக பெரியதாக வரையப் பட்டுள்ளது. ஆனால் உண்மையில் வளிமண்டலத்தின் அளவு(width) பூமியின் மேற்பரப்பில் இருந்து கிட்டதட்ட நூறு கிலோ மீட்டர் அளவுக்குத்தான் இருக்கிறது. ஆனால் பூமியின் ஆரம்(Radius)  6300 கிலோ மீட்டர். கீழே உள்ள படத்தை பாருங்கள் உங்களுக்கு புரியும்.

இப்போது உங்களுக்கு புரிந்திருக்கும் ஏன் நம் கண்களுக்கு வானம் முடிவது மாதிரி தெரிகிறது என்று.  ஆம். பூமி கோள வடிவமாக இருப்பதுதான் இதற்குக் காரணம். இதனால்தான் வானம் நம் கண்களுக்கு குடை கவிழ்த்தது மாதிரி தெரிகிறது. கீழே உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

ஒருவேளை பூமி தட்டையாக இருந்தால் “தொடுவானம்” என்ற ஒன்றே இருந்திருக்காது. பூமி கோள வடிவம் என்பதற்கு “தொடுவானம்” தான் மிக எளிய நிரூபணம்.

சரி எப்படி தொடுவானத்தின் தூரத்தை அளவிடுவது? கீழே உள்ள படத்தில் தொடுவானத்தின் தூரம் என்பது என்ன என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. புள்ளி “1” லிருந்து “2” வரை உள்ள தூரம் தான் தொடுவானத்தின் தூரம்.

நாம் பத்தாம் வகுப்பில் கற்ற பித்தாகரசுத் தேற்றத்தை பயன்படுத்தி இந்த தொடுவானத்தின் தூரத்தை அளவிடலாம். முதலில் பித்தாகரசுத் தேற்றம் என்ன சொல்கிறது என்று பார்ப்போம்.

“ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கு சமம்”. இதுதான் பத்தாம் வகுப்பு பாடப்புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பித்தாகரசுத் தேற்றம்.

கீழே உள்ள படத்தில் செங்கோண முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் தொண்ணுறு டிகிரி இருந்தால் அந்த முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். இங்கே “AB”  என்ற கோட்டுக்கும் “BC” என்ற கோட்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் தொண்ணுறு டிகிரி.

பித்தாகரசுத் தேற்றத்தை கணித மொழியில் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

AB² + BC² = AC².  

இங்கே “AC” என்ற கோட்டின் நீளம் கர்ணத்தை குறிக்கும். “AC²” கர்ணத்தின் வர்க்கத்தைக் குறிக்கும். அதைப் போல “AB” என்பது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் “BC” என்பது மற்றொரு பக்கத்தின் நீளம். அதைப் போல “AB²” என்பது AB பக்கத்தின் வர்க்கம்.  “BC²” என்பது BC என்ற பக்கத்தின் வர்க்கம். பித்தாகரசுத் தேற்றத்தின் படி “AB²”யும் “BC²”யும் கூட்டினால் வருவது “AC²”. இப்போது கர்ணத்தின் நீளத்தை பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் AC=BC²+AB² நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம்.  அதாவது இந்த பித்தாகரசுத் தேற்றத்தின் மூலம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் நீளம் தெரிந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை நாம் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக கர்ணத்தின் நீளமும்(AC) ஒரு பக்கத்தின் நீளமும்(BC) நமக்கு தெரிந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை(AB) பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் கண்டறியலாம். BC = AC²-AB².

நாம் இப்போது தொடுவானத்தின் தூரத்திற்கு வருவோம். தொடுவானத்தை தொட்டுக்கொண்டு உங்கள் கண்களை வந்தடையும்  ஒரு ஒளிக் கீற்றை எடுத்துக் கொள்வோம். கீழே உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

பூமியின் மையத்திலிருந்து தொடுவானத்தின் ஒளிக்கீற்று தொடும் இடத்திற்கு நேர்கொடு வரைந்தால் அதுதான் பூமியின் ஆரம். அந்த தொடுகோட்டிலிருந்து ஒரு ஒளிக்கீற்று நேர்கோடாக வரையப்பட்டுள்ளது. அந்த இரண்டு கோடுகளுக்கும்  உள்ள கோண அளவு 90°. பூமியின் மையத்திலிருந்து நேராக ஒரு கோடு உங்கள் கண்களுக்கு வரைந்தால் அதுதான் செங்கோணத்தின் கர்ணம்(R+h).

மேலே உள்ள படத்தில் “h” என்பது உங்களின் உயரம். புள்ளி B யில் இருந்து புள்ளி C க்கு போகும் கோடுதான் தொடுவானத்திலிருந்து உங்கள் கண்ணுக்கு வரும் ஒளிக் கீற்று. “AB” என்பது பூமியின் ஆரம். ஆரத்தின் நீளம் 6400 கிலோ மீட்டர்(AB=6300 Km). இங்கே “R+h” என்பது “பூமியின் ஆரத்தின் நீளமும் உங்களின் உயரத்தையும் சேர்த்தால் வரும் நீளம்.”(R+h= Radius of earth plus your height).  இங்கே நமக்கு கண்டறிய வேண்டியது “BC” யின் நீளம். இதுதான் தொடுவானத்தின் நீளம். கர்ணத்தின் நீளம் நமக்குத் தெரியும். (R+h = 6300 km + 1.76m). இங்கே 1.76 மீட்டர் என்பது எனது உயரம்.

இப்போது   BC = AC²-AB². அதாவது

தொடுவானத்தின் நீளம் = (R+h)²-R2.

 = (6300,000+1.76)²-(6300,000)².

 = 4.7 கிலோ மீட்டர்.

இந்த பரிசோதனையை நான் சென்னை மெரினா கடற்கரையில் செய்து பார்த்தேன். இந்த எளிய கணக்கிடுதலின் படி என் கண்களுக்கு வானம் வங்கக் கடலைத் தொடும் தூரம் என்பது 4.7 கிலோ மீட்டர். இதுதான் என் கண்ணுக்கெட்டிய தூரமும் கூட. நம் தமிழில் பேச்சு வழக்கில் “கண்ணுக்கெட்டிய தூரம்” என்று பயன்படுத்துவதை கேட்டிருப்போம். இந்த கண்ணுக்கெட்டிய தூரத்திற்கும் பித்தாகரசுத் தேற்றத்திற்கும் எவ்வளவு எளிய தொடர்பு இருக்கிறது பாருங்கள்!.

இந்த கணக்கிடுதலில் நாம் இன்னொரு முக்கியமான விஷயத்தையும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.  அதாவது “தொடுவானத்தின் தூரம்” அல்லது “கண்ணுக்கெட்டிய தூரம்” என்பது நமது உயரத்தை(h) சார்ந்துள்ளது. அதாவது உயரம் அதிகமானவர்களுக்கு தொடுவானத்தின் தூரம் அதிகம் அல்லது கண்ணுக்கெட்டிய தூரம் அதிகம். ஆனால் நன்றாக வளர்ந்த மனிதர்களின் உயரம் என்பது இரண்டு மூன்று அடிதான் வித்தியாசம் என்பதால் பெரிய அளவுக்கு தொடுவானத்தின் தூரம் மாறாது. ஆனால் ஒரு இரண்டு வயது குழந்தைக்கும் நன்றாக வளர்ந்த மனிதனுக்கும் தொடுவானத்தின் தூரம் கொஞ்சம் வித்தியாசம் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக  அரை மீட்டர் உயரம் உள்ள ஒரு குழந்தைக்கு தொடுவானத்தின் நீளம் என்பது தோராயமாக இரண்டரை கிலோ மீட்டர்தான். நீங்கள் உங்கள் உயரத்தை வைத்தும் உங்கள் மகன் அல்லது மகளின் உயரத்தை வைத்தும் இந்த எளிய கணக்கீடை நீங்களே செய்து பார்க்கலாம்.

ஆனால் ஒருவேளை நீங்கள் ஒரு மலை உச்சிக்கு சென்று அங்கிருந்து பார்த்தால் தொடுவானத்தின் தூரம் மிக அதிகமாக இருக்கும். உங்கள் கண்களால் பார்க்கக்கூடிய தொலைவு அதிகமாகும். எவரெஸ்ட் சிகரத்தின் உச்சியில் இருந்து பார்த்தால் தொடுவானத்தின் தூரம் கிட்டத்தட்ட 230 கிலோ மீட்டர். ஏனென்றால் இப்போது “h” என்பது உங்களின் உயரம் + மலையின் உயரம். இதன் மூலம் ஒரு சுவாரசியமான விசயத்தை நாம் தெரிந்து கொள்ளலாம். அதாவது மலையில் இருப்பவர்களுக்கு சூரிய உதயம் என்பது தரையில் இருப்பவர்களை காட்டிலும் முன்னமே நிகழும். அதைப்போல மலையில்  இருப்பவர்களுக்கு, தரையில் இருப்பவர்களை விட சிறிது நேரம் கழித்துதான் சூரியன் மறையும். ஒரு வேளை பூமி தட்டையாக இருந்தால் தொடுவானத்தின் தூரம் குள்ளமானவர்களுக்கு உயரமானவர்களுக்கும், மலையிலிருந்து பார்ப்பவர்களுக்கும் ஒரே தூரம்தான்.

இந்த எளிய பரிசோதனையிலும் சில பிழைகள்(errors) இருக்கின்றன.. ஆனால் அந்த பிழைகள் மிகப்பெரிய அளவில் நமது தொடுவானத்தின் தூரத்தை மாற்றப்போவதில்லை. இருந்தாலும் நாம் தெரிந்து கொள்வது அவசியம்.

முதலாவது, பூமி ஒரு முழுமையான கோள வடிவப் பொருள் கிடையாது. மாறாக அது ஒரு நீள் கோள வடிவம் கொண்ட பொருள். கீழே உள்ள படத்தில் நாம் காணலாம்.

அதனால் பூமியின் ஆரம் நில நடுக்கோட்டை விட துருவ பகுதியில் சிறிது குறைவு. அது மட்டுமில்லாமல் நாம் பூமியில் எந்த இடத்தில் நிற்கிறோமோ அந்த இடத்தில் பூமியின் ஆரம் சரியாக 6300 km இருப்பதில்லை. அதனால் என்ன விளைவு என்றால் தொடுவானத்திலிருந்து நம் கண்களுக்கு வரும் நேர்கோட்டிற்கும்(ஒளிக்கீற்று) பூமியின் மையத்திலிருந்து தொடுவானத்திற்கு செல்லும் நேர்கோட்டிற்கும் உள்ள கோணம் 90° இருக்காது. இதனை கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம்.     

மேலே உள்ள படத்தில் காட்டியபடி இந்த முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இல்லை. அதனால் பித்தாகரசுத் தேற்றம் நாம் இங்கே பயன்படுத்த முடியாது. இன்னொன்றையும் நாம் கவனிக்க வேண்டும். படத்தில் காட்டியுள்ளபடி நீங்கள் நிற்கும் இடத்தில் பூமியின் ஆரத்திற்கும்(R), தொடுவானத்தில் செல்லும் பூமியின் ஆரமும்(R) ஒரே அளவு அல்ல. இதற்குக் காரணம் பூமி ஒரு முழுமையான கோள வடிவமில்லாததுதான்(It is not perfect sphere). ஆனால் நாம் தொடுவானத்தின் தூரத்தை கணக்கிடும்போது இரண்டு ஆரமும் சமம் என்று வைத்துதான் கணக்கிட்டோம். ஏனென்றால் அங்கே பூமி ஒரு முழுமையான கோள வடிவம்(perfect sphere) என்று எடுத்து கொண்டதால்தான். ஆனால் இந்த பிழை ஒன்றும் மிகப் பெரிய பிழையல்ல. ஏனென்றால் பூமியின் துருவப் பகுதி ஆரத்திற்கும் பூமியின் நிலநடுக்கோட்டு ஆரத்திற்கும் உள்ள வித்தியாசம் 42 கிலோ மீட்டர்தான். அதனால் நாம் அந்த முக்கோணம் கிட்டத்தட்ட செங்கோண முக்கோணமாக நாம் கருதலாம். இதனால் கணக்கிடுதலில் வரும் பிழை மிகவும் குறைவு(error is small).

அதைப் போல நாம் இன்னொரு முக்கியமான விளைவை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வில்லை. அதாவது வளிமண்டலம் ஒளியின் மீது செலுத்தும் விளைவு. ஒளி வளிமண்டலத்தின் வழியாக நம் கண்களை வந்தடையும் போது ஒளி விலகல்(refraction) அடைந்துதான் வருகிறது. இதனால் என்ன விளைவு? நாம் இதுவரை என்ன கருதினோம் என்றால் தொடுவானத்தை தாண்டி உள்ள ஒளிக்கதிர்கள் நம் கண்களை வந்தடையாது. ஆனால் இந்த ஒளி விலகலால் தொடுவானத்திற்கு தாண்டி சிறிது தூரம் வரை உள்ள ஒளிக்கதிர்கள் நம் கண்களை வந்தடையும். இதனை கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம்.

இதனால் தொடுவானத்தின் தூரம் சிறிது அதிகமாகும். ஒளி விலகலால் அதிகமாகும் இந்த தூரத்தை கணக்கிடுவது கடினமானது. ஏனென்றால் வளிமண்டலத்தின் ஒளிவிலகல் எண்(refractive index) உயரத்திற்கு ஏற்றார்போல் மாறிக்கொண்டே இருக்கும். இந்த ஒளிவிலகலால் இன்னொரு சுவாரசியமான விஷயம் என்னவென்றால் சூரிய உதயம் என்பது சூரியன் உண்மையான தொடுவானம் வருவதற்கு கிட்டத்தட்ட இரண்டு  நிமிடங்களுக்கு முன்னாலேயே நம் கண்களுக்கு தெரிய ஆரம்பிக்கும். அதைப் போல மேற்கில் சூரியன் தொடுவானத்திற்கு கீழே சென்றாலும் நம் கண்களுக்கு இரண்டு நிமிடங்கள் வரை தெரியும். கீழே உள்ள படத்தைப் பாருங்கள்.

இங்கே “horizon” என்ற சொல் தொடுவானத்தை குறிக்கிறது.

இந்த பரிசோதனை மூலம் இரு முக்கிய விசயங்களை நாம் தெரிந்து கொள்ளலாம். பித்தாகரசுத் தேற்றம் எப்படி நம் நடைமுறை வாழ்வில் பயன்படுத்தலாம் என்று அறிந்து கொள்வது. அதைப்போல யாரேனும் பூமி உருண்டை என்று எப்படி நிரூபிப்பது என்று கேட்டால் “தொடுவானம்” என்று நீங்கள் விளக்கலாம்.

இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்னர் சொல்லப்பட்ட பித்தாகரசுத் தேற்றம் நடைமுறை வாழ்வில் எண்ணற்ற பயன்பாடுகளைக் கொண்டது. மாணவர்கள் பித்தாகரசு தேற்றத்தை வேறு என்ன வழிகளில் பயன்படுத்தலாம் என்று கண்டறிந்தால் அதுவே மாபெரும் கணித மேதையான பித்தாகரசுக்கு நாம் செய்யும் நன்றிக்கடன்.